Вообще-то, центральная предельная теорема предполагает гауссовское распределение для суммы независимых случайных величин с одинаковым законом распределения. В случае выборов эти свойства не выполняются. Очевидно, что распределения в разных регионах имеют разные математические ожидания. Свойство независимости также не выполняется поскольку общее количество участков - константа. Так что вся история с Гауссом - откровенная деза. Или, как минимум, нужны гораздо более серьезные исследования.

Павел, вообще-то анализ проводился отдельно по крупным городам. Эти данные в сети есть. Анализировалась зависимость между числом проголосовавших на отдельных участках с числом голосов отданных разным париям. Так, где посещаемость выше- у ЕДРа процент получался выше, хотя такой корреляции в рамках одного региона быть не должно. Колокол же Гаусса рассматривался прежде всего для выявления аномальных участков с точки зрения активности избирателей. А уже потом эти участки анализировались.

Корреляция между посещаемостью и голосованием за партию власти более чем нормальна - в регионах где люди более дисциплинированны (послушны, если хотите) обе величины будут велики. В регионах, где люди разочаровались в политиках упадет как рейтинг партии власти, так и желание вообще ходить на выборы. Особенно в ситуации когда очевидно отсутствие альтернативы.
Насчет математических рассчетов советую посмотреть сайт Eruditor (ru), раздел Skeptik.

Павел, Ваш ответ некорректен. Поэтому еще раз. Берем без разницы какой достаточно болшой город (один!). Строим колокол Гаусса, откладывая по оси проценты от 0 до 100%, а по оси ординат число участков с соответствующим процентом проголосовавших. Должен получиться колокол Гаусса. Если он не получается, смотрим где есть искажения.Пусть пик на 56%. Если мы получили искажения на круглых цифрах 65, 70, 75, 80%, то это уже вопрос. Если принять, что 56%- репрезентативная выборка, то расклад по голосам на всех участках данного города должен быть в пределах статистической погрешности и не должен сильно зависеть от явки. Затем по сомнительным участкам проводится сравнительная характеристика по раскладке голосов.При этом участки для сравнения могут находиться на соседних улицах. Если расклад по пратиям все-таки зависит от явки, то есть причина задуматься, к чему и призывает Вассерман. При чем здесь конкретный регион с большой явкой? И обобщать на всю страну тоже не обязательно Никто нового при этом ничего не изобрел, этот метод применяется широко для анализа итогов выборов во многих странах.

Виктор, объясните, пожалуйста, какое отношение имеет колокол Гаусса к результатам выборов? Не могли бы Вы предоставить ссылку на Ваш источник информации? Я имею в виду не оппозиционный блог, а учебник по теории вероятностей или математической статистике. Сами понимаете, ссылки на "это всем известно" не прокатывают. Если это известно всем, то должно быть известно и профессиональным математикам. Назовите, пожалуйста, книгу и автора.

Павел, в моих постах не было фразы "это всем известно". В учебниках по статистике приводятся теоритеческие основы статистики, а их применение в каждом конкретном случае- дело рук практиков. Поэтому каких ссылок Вы просите?Начало дискуссии положено не Ленте..ру (это не оппозиционный сайт) статьей А. Каняева "Истина в цифрах" от 06.12. Дальше развитие дискуссии пошло по нарастающей и перекинулось на другие сайты и прессу. Начался обсчет регионов, практически всеми желающими. Картина разная! Где-то все гладко и хорошо, где-то с сомнительными всплесками и сомнительной корреляцией. Я готов с Вами дискутировать о корректности применения этих методов. С моей- точки зрения все корректно. Но прежде чем продолжать дискуссию, я бы хотел, что бы Вы все-таки ознакомились с самим подходом. А дальше- давайте обсуждать и корректность подхода и корректность получаемых результатов.

Виктор, к великому моему стыду не знаком с математическими работами Каняева. Не нашел ни в Википедии, ни на сайтах, посвященных терверу. Я учил теорию вероятностей по учебникам Колмогорова, Феллера и Вентцель. Есть также многочисленные книги по прикладной статистике, где рассматривается именно применение теории в различных областях. Нигде я не нашел употребимости нормального распределения в том контексте о котором Вы пишете. Более того, я даже указывал Вам, что центральная предельная теорема в чистом виде здесь не применима, поскольку отсутствует независимость складываемых случайных величин и одинаковость их распределений. Следовательно, либо должны быть какие-то дополнительные условия типа условий Линдеберга, либо мы должны прийти к нормальному распределению не через ЦПТ, а как-то иначе.
Резюмирую: исходя из моих скромных познаний никакого Гаусса здесь быть не должно и все разговоры о нем - профанация в расчете на неграмотность населения. Если я не прав - жду Вашей ссылки на математическую работу (учебник, монографию, статью в институтском сборнике, и т.п. - не блог!), посвященную данному вопросу.

Виктор, только успел составить ответ, как нашел указанную Вами статью на Ленте. Как я и ожидал, никакого доказательства там нет. Автор говорит, что на некоторых выборах распределение некоторых величин (например, явки) внешне чем-то напоминает колокол Гаусса, а на других не напоминает. Не приводя никаких доказательств, что должен быть именно колокол, автор делает вывод, что если колокола нет, то выборы фальсифицированы. Кстати, в интернете давно уже гуляют графики для других стран, в частности США, где нет никакого колокола. Все-таки хотелось бы почитать на эту тему чего-нибудь более серьезного, чем газетная заметка или блог.

Павел, вот тут под Новый Год и некогда совсем.
Вряд ли в академических журналах есть статьи на эту тему. Вопрос-то чисто прикладной. Монографии (скорее брошюры) изданы были, но опять же в стиле популярной математической литературы. Первые попытки анализа выборов появились в середине 90-х. Статей с тех пор вышло много, как одобряющих, так и хающих, ссылки на часть из них есть и в статье Коняева. Если интересно, то дальше много чего накопаете сами и отфильтруете…
Но все же. По колоколу.
Складываемые случайные величины - явка на участках. Для оценки корректности способа необходимо дать ответы на вопросы:
1. Подчиняется ли случайная величина явки на конкретном участке нормальному закону?
2. Являются эти случайные величины независимыми?
3. Выполняются ли условия ЦПТ и условие Ляпунова?

Авторы на все три вопроса, с определенными оговорками, утверждают положительно. Вы считаете, что нет. Но я не собираюсь за авторов это доказывать, т.к. с моей точки зрения такой подход правомерен. Тем более, что в последние расчеты вносятся некоторые изменения, учитывающие критику: т.е. разделение сельских и городских участков, исключаются из рассмотрения участки воинских частей с заведомо высокой явкой и голосованием за одну из партий под некоторым давлением… Последнее утверждение можно отрицать, но тогда можно принять с некоторым сомнением и альтернативную точку зрения, что армия в своем большинстве поддерживает эту партию. Т.е модель постепенно шлифуется и улучшается, а не стоит на месте.

При всех этих условиях что-то похожее на колокол должно получаться. Кстати, это кривая ровным счетом ничего не скажет о возможных фальсификациях, а просто покажет некоторую аномальность в смысле активности по участкам. Но даже, если такая аномальность и есть- то тоже ничего страшного. Просто надо провести второй шаг анализа. Здесь авторами делается еще одно допущение: в равных условиях (территориальных, экономических и пр.) процент проголосовавших за ту или иную партию не должен зависеть от явки. С этим можно или спорить или соглашаться. Тем не менее, если анализируются участки с одинаковыми условиями, то мне эта точка зрения близка. И второй график просто показывает: есть эта зависимость или ее нет. А выводы уж каждый для себя сам сделает. Кто-то согласится, кто-то нет. Кстати, в Республике Карелия, Алтайском, Забайкальском, Камчатском, Красноярском, Пермском, Приморском и Хабаровском краях, Архангелсьской, Волгоградской, Вологодской, Ивановской, Кировской, Костромской, Ленинградской, Московской, Мурманской, Новгородской, Новосибирской, Оренбургской, Сахалинской, Свердловской, Томской и Ярославской областях, а также в г. Санкт-Петербург. этот метод особых аномалий не выявил - все в пределах погрешности метода. А вот по ряду других регионов, в частности по г. Москве показал проблему. Доказательством данный статистический анализ не является. Но… Если на сомнительные участки будут наложены заявления избирателей, наблюдателей, видео-материалы, то теория будет подтверждена практикой. А так - просто теория, но задуматься стоит…. ИМХО
С наступающим Новым Годом!

Виктор, спасибо за такой развернутый ответ. Сразу контрпример. Вы пишите, что явка на участке подчиняется нормальному закону. Но возьмем какой-нибудь участок с малым количеством голосующих, находящихся постоянно вместе - стоянка оленеводов, воинская часть, тюрьма, ну или какая-нибудь подводная лодка (не знаю, должны же они как-то голосовать на подводной лодке) и, возможно, связанных определенной дисциплиной. Очень может быть, что мы получим участок на котором явка в точности равна ста процентам и все. Никаких вероятностей. При суммировании явок на таких участках - никакого колокола.
Другой вариант - район разделенный на зоны с ярко выраженной возрастной дифференциацией проживающих. Например, пол района - зона студгородка, пол района - частный сектор под снос, где остались одни старики. Соответственно на всех участках из первой зоны - явка низкая (скажем около 30 процентов), а на всех участках, где живут дисциплинированные пенсионеры - явка высокая (в среднем 80 процентов). Кстати и политические предпочтения в этих группах будут заметно отличаться. При составлении суммарной гистограммы по району получим фигуру с двумя отчетливыми горбами - на 30 и 80 процентах, а на 50 будет ноль, потому что таких участков в районе нет. Реальные фигуры могут быть еще сложней.
Конечно, может получиться и колокол, в частности если все участки в некотором смысле (в каком именно - сказать сложно) одинаковые, что часто совсем не так. Очевидно,что стиль голосования города и деревни весьма отличается. Внутри большого мегаполиса тоже не все гладко. Сомневаюсь, что жители Рублевки и Бутова голосуют одинаково, как в смысле явки, так и в смысле выбора. По России неодинаковость регионов еще более очевидна. Так что в реальной жизни нормальный закон распределения не правило, а лишь один из возможных вариантов. Выяснять в каких случаях какую форму примет график - задача ученых, которые должны, отбросив персональные политические пристрастия, внимательно изучить всевозможные особенности ситуации. Те же многочисленные перепосты, где тупо утверждается, что раз колокол кривой значит были подтасовки - откровенная профанация с целью делегитимизировать выборы. Обратите внимание, чаще всего такие выкладки предоставляют люди, которые и до того были полностью уверены, что выборы прошли нечестно.
Еще один миф - что корреляция между явкой и голосами за ЕР - признак вброса. Легко предположить, что люди недоверяющие партии власти будут уверены, что их голос украдут, в судах потом ничего не докажешь и т.д и т.п. и потому просто не идут на выборы, поэтому в регионах с большим доверием власти и явка выше. Реальные закономерности, конечно, гораздо сложнее, но тем самым еще меньше оснований вот так сходу давать однозначные трактовки. Тем более невозможно требовать отмены выборов на основании таких поверхностных рассуждений. А анализировать, конечно, можно и даже занятно.
Вас тоже с наступающим!