Виктор, только успел составить ответ, как нашел указанную Вами статью на Ленте. Как я и ожидал, никакого доказательства там нет. Автор говорит, что на некоторых выборах распределение некоторых величин (например, явки) внешне чем-то напоминает колокол Гаусса, а на других не напоминает. Не приводя никаких доказательств, что должен быть именно колокол, автор делает вывод, что если колокола нет, то выборы фальсифицированы. Кстати, в интернете давно уже гуляют графики для других стран, в частности США, где нет никакого колокола. Все-таки хотелось бы почитать на эту тему чего-нибудь более серьезного, чем газетная заметка или блог.

Павел, вот тут под Новый Год и некогда совсем.
Вряд ли в академических журналах есть статьи на эту тему. Вопрос-то чисто прикладной. Монографии (скорее брошюры) изданы были, но опять же в стиле популярной математической литературы. Первые попытки анализа выборов появились в середине 90-х. Статей с тех пор вышло много, как одобряющих, так и хающих, ссылки на часть из них есть и в статье Коняева. Если интересно, то дальше много чего накопаете сами и отфильтруете…
Но все же. По колоколу.
Складываемые случайные величины - явка на участках. Для оценки корректности способа необходимо дать ответы на вопросы:
1. Подчиняется ли случайная величина явки на конкретном участке нормальному закону?
2. Являются эти случайные величины независимыми?
3. Выполняются ли условия ЦПТ и условие Ляпунова?

Авторы на все три вопроса, с определенными оговорками, утверждают положительно. Вы считаете, что нет. Но я не собираюсь за авторов это доказывать, т.к. с моей точки зрения такой подход правомерен. Тем более, что в последние расчеты вносятся некоторые изменения, учитывающие критику: т.е. разделение сельских и городских участков, исключаются из рассмотрения участки воинских частей с заведомо высокой явкой и голосованием за одну из партий под некоторым давлением… Последнее утверждение можно отрицать, но тогда можно принять с некоторым сомнением и альтернативную точку зрения, что армия в своем большинстве поддерживает эту партию. Т.е модель постепенно шлифуется и улучшается, а не стоит на месте.

При всех этих условиях что-то похожее на колокол должно получаться. Кстати, это кривая ровным счетом ничего не скажет о возможных фальсификациях, а просто покажет некоторую аномальность в смысле активности по участкам. Но даже, если такая аномальность и есть- то тоже ничего страшного. Просто надо провести второй шаг анализа. Здесь авторами делается еще одно допущение: в равных условиях (территориальных, экономических и пр.) процент проголосовавших за ту или иную партию не должен зависеть от явки. С этим можно или спорить или соглашаться. Тем не менее, если анализируются участки с одинаковыми условиями, то мне эта точка зрения близка. И второй график просто показывает: есть эта зависимость или ее нет. А выводы уж каждый для себя сам сделает. Кто-то согласится, кто-то нет. Кстати, в Республике Карелия, Алтайском, Забайкальском, Камчатском, Красноярском, Пермском, Приморском и Хабаровском краях, Архангелсьской, Волгоградской, Вологодской, Ивановской, Кировской, Костромской, Ленинградской, Московской, Мурманской, Новгородской, Новосибирской, Оренбургской, Сахалинской, Свердловской, Томской и Ярославской областях, а также в г. Санкт-Петербург. этот метод особых аномалий не выявил - все в пределах погрешности метода. А вот по ряду других регионов, в частности по г. Москве показал проблему. Доказательством данный статистический анализ не является. Но… Если на сомнительные участки будут наложены заявления избирателей, наблюдателей, видео-материалы, то теория будет подтверждена практикой. А так - просто теория, но задуматься стоит…. ИМХО
С наступающим Новым Годом!

Виктор, спасибо за такой развернутый ответ. Сразу контрпример. Вы пишите, что явка на участке подчиняется нормальному закону. Но возьмем какой-нибудь участок с малым количеством голосующих, находящихся постоянно вместе - стоянка оленеводов, воинская часть, тюрьма, ну или какая-нибудь подводная лодка (не знаю, должны же они как-то голосовать на подводной лодке) и, возможно, связанных определенной дисциплиной. Очень может быть, что мы получим участок на котором явка в точности равна ста процентам и все. Никаких вероятностей. При суммировании явок на таких участках - никакого колокола.
Другой вариант - район разделенный на зоны с ярко выраженной возрастной дифференциацией проживающих. Например, пол района - зона студгородка, пол района - частный сектор под снос, где остались одни старики. Соответственно на всех участках из первой зоны - явка низкая (скажем около 30 процентов), а на всех участках, где живут дисциплинированные пенсионеры - явка высокая (в среднем 80 процентов). Кстати и политические предпочтения в этих группах будут заметно отличаться. При составлении суммарной гистограммы по району получим фигуру с двумя отчетливыми горбами - на 30 и 80 процентах, а на 50 будет ноль, потому что таких участков в районе нет. Реальные фигуры могут быть еще сложней.
Конечно, может получиться и колокол, в частности если все участки в некотором смысле (в каком именно - сказать сложно) одинаковые, что часто совсем не так. Очевидно,что стиль голосования города и деревни весьма отличается. Внутри большого мегаполиса тоже не все гладко. Сомневаюсь, что жители Рублевки и Бутова голосуют одинаково, как в смысле явки, так и в смысле выбора. По России неодинаковость регионов еще более очевидна. Так что в реальной жизни нормальный закон распределения не правило, а лишь один из возможных вариантов. Выяснять в каких случаях какую форму примет график - задача ученых, которые должны, отбросив персональные политические пристрастия, внимательно изучить всевозможные особенности ситуации. Те же многочисленные перепосты, где тупо утверждается, что раз колокол кривой значит были подтасовки - откровенная профанация с целью делегитимизировать выборы. Обратите внимание, чаще всего такие выкладки предоставляют люди, которые и до того были полностью уверены, что выборы прошли нечестно.
Еще один миф - что корреляция между явкой и голосами за ЕР - признак вброса. Легко предположить, что люди недоверяющие партии власти будут уверены, что их голос украдут, в судах потом ничего не докажешь и т.д и т.п. и потому просто не идут на выборы, поэтому в регионах с большим доверием власти и явка выше. Реальные закономерности, конечно, гораздо сложнее, но тем самым еще меньше оснований вот так сходу давать однозначные трактовки. Тем более невозможно требовать отмены выборов на основании таких поверхностных рассуждений. А анализировать, конечно, можно и даже занятно.
Вас тоже с наступающим!

Страхи у Вас, Витя, и космических масштабов. Страхи для меня не совсем понятные. Если ВЫ лично живете на нефтяные купоны, то слова ваши еще можно объяснить... Но в любом случае стоит обратиться к хорошему психологу. RainTv - типичное трепалово мало-адекватной "интеллигенции", которая часто путает личные обиды и страхи с настоящими проблемами общества. НЕ БОЙТЕСЬ ВЫКЛЮЧАТЬ ТЕЛЕВИЗОР! "ДОЖДЬ" -- ТЕЛЕКАНАЛ ДЛЯ ТЕХ КОМУ НА ВАС НАПЛЕВАТЬ! Не бойтесь, Витя, но остерегайтесь подстрекателей, толпы и дураков!