Костюков родился 21 февраля 1961 года, имеет военно-морское образование, окончил Военно-дипломатическую академию, после которой начал службу в ГРУ. Принимал непосредственное участие в руководстве военной операции в Сирии.

Вице-адмиралу было присвоено звание Героя России за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга. В 2016 году был включен в санкционный список США за «действия по подрыву демократии в США», в сентябре 2018 года – за «вмешательства в американские выборы 2016 года».

Костюков был назначен врио начальника ГРУ в конце ноября после смерти прежнего руководителя Игоря Коробова.

Газета ВЗГЛЯД подробно писала, почему впервые в новейшей истории на пост главы ГРУ назначили военного моряка.