А доказательство прямого вранья оппозиции?

Да, пики есть. Но ключевых вопросов два - чем они вызваны и какую погрешность вносят. Причём если иметь в виду, что основной пик приходится на 40% получается, что ЕР играла против самой себя Это если смотреть с точки зрения здрвого смысла.

Но на самом деле пикам есть достаточно простое объяснение. И именно для круглых процентов. Вам оно не понравится. ) Оно заключается в том, что центральная предельная теорема рассматривает случайное распределение непрерывной величины. Однако число проголосовавших - величина принципиально дискретная

Процент голосов на участках будет кратен числу проголосоваших, то есть если проголосовало 67 человек, из них 43 за ЕР, 21 за КПРФ - то пропорции будут 43/67 и 21/67 - заметьте - это рациональные дроби с относительно небольшим знаменателем. Теперь вспоминаем что такое кратные дроби. Это например 2/3, которое равно 4/6, 6/9 и т.п...

То есть если на участке проголосовало 3 человека из них 2 за и 300 человек из них 200 за - пропрорция будет одинаково и в этом месте на графике окажется не один участок, а два. Вот так и образуются пики, которыми изобилует график - ведь примерно 20% участков, на которых голосовало менее 100 человек, а значит уже они только дадут пики по всему графику.

Но на самом деле пиков будет больше. Почему? Потому что нарушено главное условие центральной теоремы - независимость голосования. Давно известно, что большинство (в США это 90% семей, у нас - не знаю, но подозреваю - так же) семей голосуют одинакого - за одну партию или кандидата.

Это означает, что одинакого проголосует не один человек, а 2, 3 или 4. Что примерно в той же пропорции снижает число возможных комбинаций и возможные пропроции. То есть увидеть 2342/4384 более вероятно чем 2343/4383 - имено по этой причине. Причём достаточно просто доказать что благодаря этому эффекту будет пик, края которого загнуты вниз. Почему? На пальцах смотите:

2/3, 4/6, 6/9, 8/12 - дают 3 значения, близкие 3/6=6/12 и 5/6=10/12 по два, и 5/9 и 7/9, а так же 7/12 и 9/12 - это как раз та форма пика, которая и наблюдается. Возьмите лист бумаги, нарисуйте и посмотрите. Особенно если рассмотреть кратные дроби с большими знаменателями...

Так что в действительности благодаря дискретности при действительно случайном распределении (чего на самом деле нет из-за множества взаимосвязей между голосующими - региональными, семейными, соцаильными) у вас получился бы Гаусс, но Гаусс состоящий в сумме как раз из таких пиков

Кей Дач. Смотрите из анализа на соответствие закону Бенфорду видно, что реальные числа отклоняются от закона Бенфорда - п. 3.2 статьи - http://eruditor*ru/k/?16 подпункт (в). В пределах 6-7%. Идеального соответствствия закону Бенфорда мы кстати получить и не можем, именно по тому, что реальные цифры связаны более глубоко чем независимые случайные величины. Но мы можем примерно оценить степень искусственных искажений.

Она не может превышать статистическое отклонение от закона Бенфорда и это если мы примем за гипотезу, что эти отклонения появились искуссвенно, а не в случае не замеченных нами закономерностей

То есть абстрактно математически её конечно можно подогнать, но мы уже обсуждали, почему это не возможно практически - подобный массовый мухлёж был виден гораздо более простыми методами, а потому бессмысленен в реальной жизни.

Причём, замечу, подобные нарушения проявляются только для явки, начинающейся с цифр 5 .. 9 и хорошо коррелирует с данными голосования за КПРФ и ЕР.

С практической точки зрения скорее всего это показывает приписки явки в сельских районах, где с представителей ЦИК в первую очередь спрашивают именно за неё. А если иметь в виду, что избирательные участки обычно организуют под какое-то вполне круглое число человек, например 1000 или 1500 (хотя в окрестных сёлах живёт, например 1237 человек, но участок расчитан на 1500), от этого они указывают "реальную" явку, только слегка улучшенную - примерно на 5-10% (что не заметно для стороннего наблюдателя и очень сложно проконтроллировать - это ведь село и глубинка) - при явке в 50-60% мы как раз и получим пики искажений в районе чисел начинающихся с 500 и до 1000 - поскольку как раз таких участков довольно много (в среднем на участке по России 1400 человек) Вот и вся магия ))

Кей, я не профессиональный математик, а бизнесмен, но то, чему учился ещё помню. Кстати поэтому сообразил и что относительно закона Бенфорда и 6% был не прав. Как раз именно закон Бенфорда и именно применительно к явке и должен работать точно так, как показано в статье и он лишний раз подверждает реалистичность данных ЦИК и фальшивку от оппозиции. И вот почему.

Закон Бенфорда покажет идеальное распределение для первой цифры лишь в том случае, если на входе случайные числа. Но так ли это для явки? Не совсем. Россия - население 145 мнл. человек, 100 тыс. избирательных участков из них свыше 60% населения - городское, ещё 20% живут достаточно плотно - то есть свыше 80% избирательных участков типовые - на 1400-1500 человек.

Менее 20% - больше (как в военский частях, где на одном участке голосует сразу пара дивизий, а это более 20 тыс. человек) или наоборот меньше - в удалённых райнах. Кстати первые дают распределения максмально похожие на Гаусса, а последние - пики, там народу мало и соответственно дроби не велики.

Но 80% - это участки в 1400 человек. Теперь обратите внимание, что традиционно на выборах (по всему миру, не только у нас) явка по стране в целом заметно более равномерна, чем предпочтения избирателей по партиям. (За исключением явных аномалий вроде чечни или военских частей, где то как ты голосуешь всё равно - но голосовать тебя погонят). То есть при итоговой явке в 60% она восновном колебалась в пределах от 40% до 70% (выше 70% явка была редка). При размере избирательного участка в 1400 человек получаем: 560-980 человек - первая цифра для явки как раз от 5 до 9! Вот вам и отклонение, которое должно было быть! И именно его и показывают данные ЦИК!

Более того, это же отклонение должно было быть, хотя и на других цифрах именно для ведущих партий - ЕР и КПРФ. Почему? Потому, что за эти партии голосовало больше людей и распределение голосов по ним как внутри региона, так и за его пределами будет заметно более равномерным. А вот за более мелкие партии, голосование очаговое - у них нет заметных успехов. Соответственно для первых партий Бенфорд должен показать аномалию (цифры то для них получаются не совсем случайны, особенно для ЕР как лидера), а для вторых - нет или очень небольшую.

Теперь посмотрим п.4.2. в статье автора. Для ЕР степень соответствия показывает как раз то, что должна, если иметь в виду, что она набрала 49% голосов - пик должен быть на 5, 6..7, а минимум на 1 (ведь голоса сосредоточены в районе 40-60%, причём за ЕР традиционно голосуют выше там, где выше явка, то есть близка к 70% или 980 человек на участок, что распределит голоса 50%-70% в дипазон 490-686 человек - вот нам и аномалия, и мало где проголосовало меньше 10% - так что естественно что и 1 будет видна реже, чем должна при случайном распределении).

А вот на графике оппозиции явная лажа. Перекос в пользу 2 и 3, при заваленной единице - то есть по их версии получается, что по всей стране равномерно и именно за ЕР голосовало около 30% - но это то явная ерунда, хотя бы потому, что в тех же сельских районах или моногородах популярны лишь ЕР и КПРФ, за других там не голосуют и просто голосовать не могли, так как о них не знают. Более того, есть эффект когда часть избирателей, особенно пожилых голосуют за партию власти просто по превычке - как в своё время за КПСС. И он тоже по версии оппозиции отсутствует

Алексей, не знаете математики позорьтесь. Дискретная величина означает, что у неё есть отдельный набор значений, в некоторых случаях ограниченный (как в данном случае - известное и фиксированное число партий), в других - бесконечный, например целые или натуральные числа. Ни целые, ни натуральные числа в пределе ничем другим не станут - и тем более непрерывными величинами.

Если у вас случайным образом выпадает дискретное число из ограниченного набора (партий), то в пределе вы конечно получите распределение Гаусса - в том собственно и заключается центральная предельная теорема, но вот благодаря дискретности числе она будет состоять из тех же пиков, как я и показал. И здесь нет противорчения, это просто разные части общей картины

Алексей - пишу же - не смешите людей. Если бы вероятность была дискретна, то это по определению дискретности означает, что она может принимать не любые непрерывные, а лишь определённые значения. Как, например, натуральные числа, которые могут быть 1 и 2, но не могут быть 1,5 или 1,3

Но это значило бы, что обязательно есть два соседних уровня вероятности, между которыми промежуточного значения быть не может. А теперь покажите мне число в диапазоне от 0 до 1 (в котором находится вероятность любого события) которому не может соответствовать вероятность )

N кандидатов представляют N возможных исходов каждого отдельного голосования, но естественно каждому из них соответствует определённая вероятность именно такого исхода. Если под дискретностью вы имели в виду это - то да, и она вызвана дискретностью возможных вариантов голосования

Если бы исход события был непрерывной величиной - как в случае скорости частицы в газе, то и вероятность для неё была бы не рядом дискретных значений как в данном случае, а непрерывным распределением.

Позволю себе вклиниться ещё раз :) Основная суть центральной предельной теоремы (ЦПТ), как мне видится, заключается в том, что она описывает распределение случайной величины, которая является суммой нескольких случайных величин. При этом ограничений на эти величины очень и очень немного. Кстати, это могут быть и абсолютно одинаковые величины. Вот заглянул в википедию за формулировкой :) : "сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения." Этим обусловлено использование Гаусса для оценки различного рода погрешностей (статистических). Более того, на практике сумму довольно ограниченного количества случайных величин, можно считать уже распределённой по Гауссу.

Обоснованность применения Гаусса - это, конечно, отдельный вопрос... Хотя для меня он почти решён. Я знаю единственное "нарушение" Гаусса (обобщение ЦПТ), оно связано со случайными величинами - слагаемыми в сумме, которые относятся к классу устойчивых, у которых дисперсии бесконечны, а зачастую и матожидания. Но существование их в практике практически нереально :) И связано это с естественной ограниченностью стат.выборки: мы НИКОГДА не сможем работать с бесконечной выборкой :) Соответственно и обнаружить такие величины не сможем. Поэтому Гаусс рулит! :)) А по поводу Бенфорда - вопрос ещё очень огромный... Каюсь в невежестве, но ранее я с этим законом не был знаком. Посмотрев ту же википедию, я обнаружил, что у Бенфорда существуют настолько существенные ограничения, что даже сравнивать его возможности для анализа со всеобщностью и доказанностью Гаусса не представляется возможным. То есть делать на его основе громкие заявления вообще нельзя. Например, если добавить конкретики, - Бенфорд абсолютно не работает, если речь идёт о нормальных (Гауссовых) случайных величинах. Чтобы использовать Бенфорда, нужно ОЧЕНЬ СИЛЬНО обосновать правомерность его применения, в отличие от практически всеобщего Гаусса.

Почему Бенфорд может быть применён к любой последовательности случайных чисел? Откуда такая всеобщность и чем она объясняется и подкрепляется? Из информации википедии я видел примеры, когда он точно не применим, почему же во всех остальных случаях он может быть применим? Там же я видел и возможные, подчёркиваю, возможные объяснения почему он работает... Но всё это свидетельствовало как раз об узости его применимости...

Как раз оттуда:

-------------------------------------

Впоследствии закон Бенфорда получил своё объяснение — он применим ко множествам чисел, которые могут расти экспоненциально (другими словами, темп роста величины пропорционален её текущему значению. Например, в их число входят счета за электричество, остатки товаров на складах, цены на акции, численность населения, смертность, длины рек, площади стран, высоты самых высоких сооружений в мире.

-------------------------------------

- Как раз наш случай

-------------------------------------

Ограничения
Сопоставление распределения Бенфорда (красный цвет) и распределения первых букв в словах русского языка (синий цвет). По горизонтали — первые значащие буквы, по вертикали — вероятность их появления.

Закон обычно не действует для распределений с заданными минимальными или максимальными значениями (список компаний с доходом от 50000 до 100000 долларов). Также не подходят распределения, охватывающие только один или два порядка величин (IQ взрослых). Закон Бенфорда не применим ко множеству букв (рис.). Объём данных должен быть достаточен для применения статистических методов.

---------------------------------------

Вот именно это ограничение и нарушается в случае явки - там получается достаточно узкий интервал, потому и распределение для неё отличается от классического

Закон Бенфорда строго математический. И условия его применения указаны вполне чётко. Применять его здесь вполне можно и он, кстати, прекрасно работает - я это показал на примере. Другое дело, что любой математический инструмент нужно применять аккуратно, проверяя - применим ли он и какие ограничения на его применения могут быть. Иначе можно сесть в лужу, как это случилось с оппозицией, когда они слепо применили Гаусса, сфальсифицировали по нему данные, а потом выснилось, что как раз чистого Гаусса тут мы увидеть и не можем )

У Бенфорда оно точно так же есть, как и у Гауса - иначе не возможно было бы вывести точную формулу и такие же строгие условия применимости, просто этот закон более сложен и не столь очевиден.

И в данном случае он полностью применим, имя в виду некоторую возможную неслучайность реальных чисел, как и Гаусом. Собственно он применим везде, где соблюдается условие роста числа параметров с уменьшением числа их значения. Например - чеки в магазине - чем больше сумма - тем меньше таких чеков. Или голоса на выборах - чем больше голосов (в абсолютном выражении) на избирательный участок, тем таких участков меньше. И действительно - участков на 20 тыс. человек, гораздо меньше, чем на 1500 человек. Причём для числа голосов за малые партии он будет работать вообще великолепно, а вот для крупных партий и явки - не очень, т.к. там хотя общая закономерность и сохраняется, всё-таки числа получаются уже не совсем случайными, а попадают в определённый диапазон, что и приводит к отклонению от идеального распределения.

Простите меня! :))) Это закон-то Бенфорда более сложен и не очевиден, чем Гаусс?! Вот как раз всё наоборот! Это в смысле математического доказательства. И с Вашим утверждением, что он "И в данном случае он полностью применим, имя в виду некоторую возможную неслучайность реальных чисел, как и Гаусом. Собственно он применим везде, где соблюдается условие роста числа параметров с уменьшением числа их значения." я согласиться никак не могу. Это всего лишь предположение, которое никак нельзя считать доказанным. Или, если я чего-то не знаю, дайте ссылки на доказательство данного утверждения :)

Георгий, всё же написано в вики, на которую вы ссылаетесь. Сам закон Бенфорда следствие экспотенциального распределения величин, которое весьма часто наблюдается в природе, и верен именно для него. Проще говоря для случая, когда у вас с ростом параметра падает вероятность увидеть подобное значение параметра.

Например, как для уровня богатства. Людей с доходами в десятки тысяч долларов - миллиард, с сотнями - десятки миллионов, с миллионами - миллионы, с миллиардами - несколько сотен, с десятками миллиардов - единицы.

Это же верно и для выборов, особенно для голосования за партии с низкими результатами - так как для них будет действовать таже самая закономерность

Георгий, так я и не говорю о её очевидности. Тут скорее стоит смотреть с противоположной стороны - со стороны наружения закона Бенфорда - и если оно есть - смотреть как и чем оно вызвано

Вот именно поэтому он более сложен. Не сам по себе, а его применение. Гаусс будет работать в любом случае если величины случайны и не зависимы, а вот Бенфорд - вы заранее как правило не можете в реальном распределении этого знать, и смотрите на его соблюдение или нарушение, что бы выявить, чем оно вызвано

Георгий, с этим я безусловно согласен и об этом писал уже несколько раз. Как и с гаусом. Ведь если распределение не по Гаусу - это вовсе не значит, что что-то нарушено. Может быть множество причин по которым распределение различается. Одна из которых - территориальная сегментация голосования.

Но как инструмент для статистики - оба прекрасно применимы, хотя бы для того, что бы посмотреть что в данном случае они не работают и сообразить почему.

Георгий - это математика, тут всё светло, ясно и чётко ) Тёмная природа бывает у метафизиков и асторологов, а так же агитаторов на болотной, но не у физиков и математиков (хотя физики когда не сообразили почему у них не сходится реальная картина с расщётами тоже принялись творить тёмные энергии и материи)

И Гаусс и Берфорд работают при соблюдении некоторых условий. О том соблюдаются они реально или нет судить достаточно сложно. Как видите оппозиция совершила банальную ошибку с тем же Гаусом, решив, что он должен соблюдаться и упустив из виду территориальную сегментацию. Но это же только часть взаимосвязей

Да и потом - если закон Бенфорда для первой цифры действительно может достаточно заметно нарушаться - так как действительно зависит от экспотенциальности распределения, то вот для последующих цифр должен соблюдаться чётко в тех же условиях что и Гаус.

Условия для выполнения закона Бенфорда сформулированы предельно чётко - это эспотенциальное распределение величины на входе. Именно исходя из него и выведена формула, указаная в википедии. Это математика и математический закон

А вот слова, про то, что якобы территориальная сегментация в пользу оппозиции прямо замечу - вранье. Именно её остуствие и соответствие данных оппозиции распределению Гауса - чего быть не может в принципе именно из-за сементации по территории и чего не наблюдается ни на одних реальных выборах и доказывает нагляднее всего, что данные оппозиции сфальсифицированы. Чётко и ясно. И без всякого Бенфорда.

То есть фальсификации оппозиции ДОКАЗАНЫ. После чего остаётся лишь вопрос о точности и достоверности данных ЦИК, которые и пытаются анализировать посредством других закономерностей, так как Гаусс не может её не подтвердить, не опровергнуть

Кажется, дискуссия зашла в тупик... Видимо, мы обсудили всё, что могли и не сдвинулись. Ещё раз попробую обратить Ваше внимание на Бенфорда. Первое, и самое главное - никаких предельно чётко сформулированных условий для Бенфорда нет и это следует из объяснений в википедии и ссылок на статьи, представленных там же. Поэтому Бенфорд на мой взгляд никакой не показатель. Второе - и Гаусс тоже не показатель, хотя в силу его значимости, обоснованности и практической повсеместности в науке и окрестностях :) он достоин более пристального анализа. В работе Кузнецова помимо указанной "универсальности" аргументом, единственным, к сожалению, в пользу его выполнения является его выполнение для всех других партий. Увы, других явных обоснований для его применимости нет. Потому и требуется какая-то модель, которая бы служила таким обоснованием. Такое моё видение этой ситуации...

Георгий, с тем что дискуссия зашла в тупик согласен. Для Бенфорда есть такие же чёткие условия как и для Гауса - как и формула. В вики центральная предельная теорема точно так же постулируется, хотя и не доказывается, как и Бенфорд. Да и дискуссия эта для математиков, коим я не являюсь, как очевидно и вы.

В работе Кузнецова распределения Гаусса нет ни для одной партии. Аномалии, которые есть на графике ЕР и автор и я уже выше рассматривал - они вполне объяснимы, что автор и сделал. Всё остальное требует аккуратного математического и статистического анализа реальных данных.

Были нарушения на выборах? Из того, что есть можно сделать вывод - скорее всего да, однако это точно не массовые фальсификации о которых утверждала оппозиция. Для того, что бы более точно оценить их масштаб и выявить характер - требуется более подробный и тонкий анализ данных

За сим предлагаю дискуссию прекратить в виду бесперспективности хождений по кругу...

Я, в некоторой степени, всё-таки являюсь математиком, к.ф.-м.н., теорию вероятностей преподаю довольно долго, и для физиков и для экономистов, да и диссертация имела прямое отношение к теорверу, почему и заинтересовался этими исследованиями. Поэтому могу сказать абсолютно ответственно, ЦПТ (Гаусс) доказывается абсолютно точно, в отличие от Бенфорда. И я согласен, что дополнительный анализ требуется, исходя из некоторой модели, которой у Кузнецова не сформулировано. Андрей, я благодарен за дискуссию. Узнал, что есть такой Бенфорд, загадочный и красивый :))