Слова президент и патриарх пишутся со строчной буквы за исключением официального титулования в официальных документах: Президент Российской Федерации, Президент России, Патриарх Московский и всея Руси; но президент Путин, партриарх Кирилл, и даже президент России, патриарх Московский — в разговорной речи, в литературе, в прессе. Вместо того, чтобы распространять языковые мифы и прочее мракобесие, лучше бы почитали словари да справочники.